miércoles, 12 de febrero de 2014
FORMULA GENERAL DE LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS
Consideremos la ecuación general de segundo grado (ecuación cuadrática) que tiene la forma: 
.
.
Resolver esta ecuación implica encontrar el valor o los valores de 
que cumplen con la expresión, si es que existen.
Cuando nos enfrentamos por primera vez en la vida a esta clase de problemas, la primera forma en la que se intenta dar una respuesta es probando con varios números hasta "atinarle" (ya sea por que nos sonría la buena fortuna, o por aproximación).
Algunos incluso prueban número tras número hasta hallar la solución (Método de la "Fuerza Bruta").
Después, conforme nos vamos enfrentando a mas problemas que involucran ecuaciones cuadráticas, descubrimos algunos métodos de solución. De los primeros que aprendemos (por simplicidad) están el "Método Gráfico" (Realizar la gráfica correspondiente a la ecuación cuadrática igualada a cero y observar en que abscisas la gráfica "toca o pasa" por el eje horizontal del plano cartesiano). Otro método que aprendemos es el "Método de Factorización" (Trabajar con la expresión cuadrática igualada a cero hasta dejarla expresada como multiplicación de otras dos expresiones algebraicas, y encontrar "por simple observación" los valores que hacen que estas últimas dos ecuaciones sean iguales a cero).
Las desventajas de estos métodos es que implican trabajo excesivo, y no se garantiza que se encuentre la solución de la ecuación (al menos una solución "Real").
El último método que se estudia para resolver ecuaciones de segundo grado es la "Fórmula General".
que cumplen con la expresión, si es que existen.Cuando nos enfrentamos por primera vez en la vida a esta clase de problemas, la primera forma en la que se intenta dar una respuesta es probando con varios números hasta "atinarle" (ya sea por que nos sonría la buena fortuna, o por aproximación).
Algunos incluso prueban número tras número hasta hallar la solución (Método de la "Fuerza Bruta").
Después, conforme nos vamos enfrentando a mas problemas que involucran ecuaciones cuadráticas, descubrimos algunos métodos de solución. De los primeros que aprendemos (por simplicidad) están el "Método Gráfico" (Realizar la gráfica correspondiente a la ecuación cuadrática igualada a cero y observar en que abscisas la gráfica "toca o pasa" por el eje horizontal del plano cartesiano). Otro método que aprendemos es el "Método de Factorización" (Trabajar con la expresión cuadrática igualada a cero hasta dejarla expresada como multiplicación de otras dos expresiones algebraicas, y encontrar "por simple observación" los valores que hacen que estas últimas dos ecuaciones sean iguales a cero).
Las desventajas de estos métodos es que implican trabajo excesivo, y no se garantiza que se encuentre la solución de la ecuación (al menos una solución "Real").
El último método que se estudia para resolver ecuaciones de segundo grado es la "Fórmula General".
Analizando la raíz cuadrada, se llega a las siguientes conclusiones:
- Si
es menor que 
los resultados de X serán dos valores con parte real y parte imaginaria. Es decir, el resultado sera un número complejo.
- Si es mayor que obtendremos dos valores distintos de X reales.
- Y si es igual que obtendremos dos valores de X reales e iguales.
- Al término
se le llama discriminante.
tomando en cuenta el orden de los terminos: "a","b"y"c"=x²-6x+9
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VIDEOS RELACIONADOS
CONCLUSION: ESWTA FOIRMULA TE LLEVA A BUSCAR 2 POSIBLES RESULTDOS DE X PARA ESTO NESECITAS APLICAR LA FORMULA GENERAL Y SUSTITUIR VALORES PARA PODER HACERLA
HOMOTECIA DIRECTA E INVERSA
Una homotecia es una transformación afín que, a partir de un punto fijo, multiplica todas las distancias por un mismo factor. En general una homotecia de razón (λ) diferente de 1 deja un único punto fijo, llamado centro.
La homotecia es una transformación afín, composición de una transformación lineal y una traslación, y por consiguiente conserva:
- el alineamiento: las imágenes de puntos alineados son alineados: (A,B,C) y (A', B', C') en la figura
- el centro de un segmento, y más generalmente el baricentro: la imagen del baricentro es el baricentro de las imágenes. En la figura, B es el centro de [A;C] y por lo tanto B' es el de [A';C']
- La imagen de una línea es otra línea paralela a la original.
- el paralelismo: dos líneas paralelas tienen imágenes paralelas. En la figura (B'E') // (C'D') porque (BE) //(CD).
- Si k ≠ 1, el centro de la homotecia es el único punto fijo (k = 1 corresponde a la identidad de E: todos los puntos son fijos).
- k = - 1 corresponde a una simetría de centro C.
- Si k ≠ 0,
admite como trasformación recíproca 
(cuando k = 0, no es biyectiva). - Al componer dos homotecias del mismo centro se obtiene otra homotecia con este centro, cuya razón es el producto de las razones de las homotecias iniciales: o
= 
. - Al componer homotecias de centros distintos, de razones k y k', se obtiene una homotecia de razón k·k' cuando k·k'≠1, y una traslación si k·k'=1. El conjunto de las homotecias (con k≠0) y las translaciones forman un grupo.
homotecia inversa
La homotecia inversa es aquella en la que la razón de homotecia es negativa, o dicho de otra forma aquella en la que los puntos iniciales y sus homotéticos quedan en lados distintos del centro de homotecia.
homotecia directa
En una homotecia de centro el punto O y razón k:- Si k > 0, A y A′ están al mismo lado de O, y se dice que lahomotecia es directa.
- Si k < 0, A y A′ están a distinto lado de O, y se dice que lahomotecia es inversa.
A la figura ABC le hemos aplicado una homotecia de centro O y razón k, con k < 0; homotecia inversa.HOMOTECIA DIRECTA
HOMOTECIA INVERSA
Propiedades de las homotecias
1.o Toda recta que pasa por el centro de homotecia es invariante, es decir, se transforma en sí misma.
Tipos de homotecia:Tipos de homotecia:
1.-HOMOTECIA DIRECTA: es aquella en la cual el punto de homotecia o el centro de homotecia se encuantra despues o antes de la figura trazada. La caracteriztica principal es que los segmentos entre las figuras son paralelas.
2.-HOMOTECIA INVERSA: Es aquella en la cual el centro de homotecia se encuentra entre la figura.
La homotecia tambien puede ser positiva o negativa. Determinan la razon que se tome es decir, el factor principal por el cual se multiplica.
Para encontrar la razon de homotecia debe colocarse uno a uno cada lado o segmento de las figuras y sacar la constante de proporcionalidad. uno a uno cada lado o segmento de las figuras y sacar la constante de proporcionalidad.
VIDEO DE HOMOTECIAS PARA APRENDER MAS
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CONCLUSION; EN LAS HOMOTECIAS PUEDES HACER LOS POLIGONOS MAS GRANDES O MAS PEQUEÑOS SEGUN COMO TE PIDAN Y LA HOMOTECIA INVERSA COMO SU NOMBRE LO DICE ES INVERTIDA PERO CAMBIA DE TAMAÑO
SIMETRIA CENTRAL
La simetría respecto de un punto se llama simetría central y los puntos correspondientes, homólogos. En una simetría central, los segmentos homólogos son iguales y la medida de los ángulos correspondientes también son iguales.
Ejemplo 1:
Dibuja el triángulo simétrico respecto del centro O del triángulo dado ABC.
Cualquier punto cumple las dos siguientes condiciones:
- A y A’ están alineados: la recta que los une pasa por O.
- La distancia de O al punto A es igual que la de O al transformado A’Estos triángulos son simétricos respecto del centro O.Para pasar de un punto a su simétrico se cambia el signo de las coordenadas:Si P =(x,y) entonces P’=(-x,-y).
Coordenadas de los puntos Coordenadas de sus simétricos A=(3, 1) A=(-3, -1) B=(1, 2) B=(-1, -2) C=(2, -1) C=(-1, 2) Dos puntos P=(x,y) y P’=(x’,y’) simétricos respecto de origen de coordenadas tienen sus abscisas y ordenadas opuestas.Las ecuaciones de la simetría central son:
x’ = x , y’ = -y
Video en donde aprenderas a hacer una simetria central
En el mapa mental veras los conceptos mas importantes de la simetria central
CONCLUSION: EN LA SIMETRIA AXIAL PODRAS HACER LA MISMA FIGURA PERO DIFERENTE POSICION, YO DIGO QUE HACE UNA ROTACION Y TRASLACION YA QUE CAMBIA DE LADO Y LUGAR
SIMETRIA AXIAL
Simetria axial
es la simetría alrededor de un eje, de modo que un sistema tiene simetría axial o axisimetría cuando todos los semiplanos tomados a partir de cierta mediatriz y conteniéndolo presentan idénticas características.También puede decirse que es una isometría indirecta e involutiva.
Como hacerlo?
1 traza una figura
2 depsues pondremos una linea vertica frente la figura que sera la simetria axial
3 marcas en la figura con letras (ABCD)
4 AHORA MEDIMOS CUANTA DISTANCIA HAY ENTRE LA LINEA EL PUNTO A. EL RESULTADO LO UBICAS DEL EJE HACIA EL LADO CONTRARIO DE LA FIGURA.
5 HAREMOS LO MISMO CON TODOS LOS PUNTOS DE LA FIGURA ORIGINAL Y DEBEMOS TENER UNA FIGURA IGUAL PERO ALREVES, UN TIPO ESPEJO
mapa mental acerca de la simetria axial, los conceptos mas importantes
Video para aprender mas sobre el tema:
en el power point podrás ver e informarte mas sobre la simetría axial
CONCLUCION: LAS SIMETRIAS AXIALES LAS PODEMOS ENCONTRAR EN COAS MUY COMUNES COMO UNA MARIPOSA, UN CORAZON UN VASO COMPLETAMENTE CIRCULAR UN CIRCULO Y MUCHAS COSAS Y LA LINEA QUE LAS DIVIDE ES EL EJE DE SIMETRIA.
es la simetría alrededor de un eje, de modo que un sistema tiene simetría axial o axisimetría cuando todos los semiplanos tomados a partir de cierta mediatriz y conteniéndolo presentan idénticas características.También puede decirse que es una isometría indirecta e involutiva.
Como hacerlo?
1 traza una figura
2 depsues pondremos una linea vertica frente la figura que sera la simetria axial
3 marcas en la figura con letras (ABCD)
4 AHORA MEDIMOS CUANTA DISTANCIA HAY ENTRE LA LINEA EL PUNTO A. EL RESULTADO LO UBICAS DEL EJE HACIA EL LADO CONTRARIO DE LA FIGURA.
5 HAREMOS LO MISMO CON TODOS LOS PUNTOS DE LA FIGURA ORIGINAL Y DEBEMOS TENER UNA FIGURA IGUAL PERO ALREVES, UN TIPO ESPEJO
mapa mental acerca de la simetria axial, los conceptos mas importantes
Video para aprender mas sobre el tema:
en el power point podrás ver e informarte mas sobre la simetría axial
CONCLUCION: LAS SIMETRIAS AXIALES LAS PODEMOS ENCONTRAR EN COAS MUY COMUNES COMO UNA MARIPOSA, UN CORAZON UN VASO COMPLETAMENTE CIRCULAR UN CIRCULO Y MUCHAS COSAS Y LA LINEA QUE LAS DIVIDE ES EL EJE DE SIMETRIA.
MOVIMIENTO EN EL PLANO
Rotación;En geometría y álgebra lineal, una rotación es una transformación al plan o al espacio que describe el movimiento de un sólido rígido alrededor de un eje. En una rotación pura los puntos del eje son fijas, dicho de otro modo, la posición de los punto del eje quedan en el mismo lugar un golpe transformados. Una rotación se diferencia de una traslación, la cual desplaza todos los puntos del sólido por igual y no mantiene puntos fijas, y de una reflexión, que tumban el sólido creando una imagen especular. Las tres transformaciones descritas dejen inalterades las distancias entre parejas de puntos; son isometrícas.
Como hacerlo?1 hacer un triangulo ABC2 Elegir un punto en el plano fuera del triangulo. Unir con cada uno de los vertices ya hechos con el punto de las lineas cortadas.
3 Rotar a ____° tomas el transportador u lo ubicas en el punto, mides ___° y lo marcas. con en punto marcado traza una linea y encuentra la misma distancia entre C y en punto marcado y se llamara C´
traza una linea B y luego mides ____° y marcas, traza la linea y calcula la distancia del triangulo y marcas B´ y hacer lo mismo con el punto A para obtener A´
4 Traza las lineas con los puntos y tendras tu triangulo con una rotacion de ___°
Mapa Mental
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CLONCLUSION: las figuras pueden rotarse Y TRASLADARSE FACILMENTE EN CUALQUIER ANGULO O POSICION, Y REALMENTE ES DEMASIADO SENCILLO.
Como hacerlo?1 hacer un triangulo ABC2 Elegir un punto en el plano fuera del triangulo. Unir con cada uno de los vertices ya hechos con el punto de las lineas cortadas.
3 Rotar a ____° tomas el transportador u lo ubicas en el punto, mides ___° y lo marcas. con en punto marcado traza una linea y encuentra la misma distancia entre C y en punto marcado y se llamara C´
traza una linea B y luego mides ____° y marcas, traza la linea y calcula la distancia del triangulo y marcas B´ y hacer lo mismo con el punto A para obtener A´
4 Traza las lineas con los puntos y tendras tu triangulo con una rotacion de ___°
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TRASLACION:La traslación es una transformación puntual por la cual a todo punto A del plano le corresponde otro punto A'
también del plano de forma que 
. Siendo 
el vector que define la traslación.La traslación se designa por 
, luego 
.El punto A' es el punto trasladado de A.Un punto y su trasladado se dice que son homólogos
Como hacerlo?
TRASLACION:La traslación es una transformación puntual por la cual a todo punto A del plano le corresponde otro punto A'
. Siendo el vector que define la traslación.La traslación se designa por , luego .El punto A' es el punto trasladado de A.Un punto y su trasladado se dice que son homólogosComo hacerlo?
1 Dibuja 1 triangulo poniendo letras en cada punto A,B,C
2 Traza un puntoen el ligar donde quiera trasladar y nombran A´, abre el compas para recomnocer la distancia entre el punto A y A´ y con esa distancia marcar los otros 2 puntos desde B y C
3 Para ubicar el punto C´ abre el compas entre la distancia AC del triandgulo , se ubica esa distancia en A´ al punto que ya esta trazado, hacer lo mismo con b para buscar B´
4 Ahora unimos A´B´C´ para mayor el triangulo y estara trasladado tu triangulo con misma inclinacion
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AQUI LES DEJO UN VIDEO DE COMO ROTAR LAS FIGURAS Y TRASLACION
2 Traza un puntoen el ligar donde quiera trasladar y nombran A´, abre el compas para recomnocer la distancia entre el punto A y A´ y con esa distancia marcar los otros 2 puntos desde B y C
3 Para ubicar el punto C´ abre el compas entre la distancia AC del triandgulo , se ubica esa distancia en A´ al punto que ya esta trazado, hacer lo mismo con b para buscar B´
4 Ahora unimos A´B´C´ para mayor el triangulo y estara trasladado tu triangulo con misma inclinacion
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AQUI LES DEJO UN VIDEO DE COMO ROTAR LAS FIGURAS Y TRASLACION
CLONCLUSION: las figuras pueden rotarse Y TRASLADARSE FACILMENTE EN CUALQUIER ANGULO O POSICION, Y REALMENTE ES DEMASIADO SENCILLO.
Teorema de pitagoras.
El teorema de Pitágoras establece que en todo triangulo rectangulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
TE ENSEÑARE ALGUNOS EJEMPLOS.
Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes 
y 
, y la medida de la hipotenusa es 
, se establece que:
y , y la medida de la hipotenusa es , se establece que:
De la ecuación se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica:
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La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 405.6 m y la proyección de un cateto sobre ella 60 m. Calcular:
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